수학의 미스테리

인간은 오래전부터 자연을 관찰해왔고, 여러가지 패턴들을 찾아내었다.

 

 

 

 

 

 

밤하늘에 떠있는 별들을 바라보며 별자리를 찾아내었고

 

 

 

 

밤과 낮, 그리고 계절이 바뀌는것을 보면서

 

 

 

 

 

이러한 패턴을
“시간” 이라고 불렀다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

사람의 몸, 호랑이의 줄무늬와 같은 자연의 대칭적인 패턴들을 보고
익히면서

 

 

 

 

 

인간은 이것들을 예술로만들고 더 나아가서는 도시를 건설하는데 이용하게 된다..

 

 

 

 

 

이러한 패턴이 우리에게 의미하는것은 무엇일까

왜 고동의 껍질과, 단면을 잘라낸 양배추에서 보이는 나선형의 모양이

 

 

 

 

 

머나먼 우주의 은하에서도 보이는것일까? 이것은 그저 우연에 불과한것일까?

 

 

 

 

과학자들이 이
세상의 패턴들을 연구하고 이해하려할때 

그들은 강력한 도구인 “수학” 을 이용한다.

관찰한것을 숫자화 하고 

그 숫자를 자연의 리듬과 규칙의 원인을 찾기위해 수학적 테크닉을 이용하여 탐구한다.

 

 

 

 

 

 

 

이러한 노력은

행성의 공전궤도에 관한 비밀과 우리들의 휴대전화를 연결하는 전자파..

 

 

 

 

 

심지어 물질의 가장 기본적인 구성요소를 발견하게 해주었다.

 

 

 

 

 

그러나 이러한
발견은 보다 근본적인 질문을 던지게 한다.

왜 수학이 이토록 잘 맞아떨어지는 것일까?

우리가 살고있는 세상이 수학을 바탕으로 이루어져 있기 때문인것일까?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

아니면 수학은 단지 인간의 뇌가 발명해낸 결과물인 것인가?

 

 

 

 

 

레오나르도 피보나치는 12~13세기에 활동했던 이탈리아의 수학자로
우리에게는 피보나치 수열로 유명한 사람이다.

 

 

 

 

피보나치 수열을 생성하는 기본 규칙은 
처음 두 항은 1이고(그림에서는 0부터 시작함), 세
번째 항부터는 바로 앞의 두 합의 합이 된다는 것이다. 
그래서 세 번째 항은 첫 번째 항 1과 두 번째 항 1을 더한 값인
2가 된다. 
그리고 네 번째 항은 두 번째 항 1과
세 번째 한 2를 더한 값인 3이 된다.

 

 

 

 

 

피보나치 수열은 우리 일상생활에서 많이 볼수 있는데

데이지 꽃의 꽃잎이 피보나치 숫자의 형태로 나타난다.

 

 

 

 

 

솔방울의 밑바닥을 보면 나선형의 선이 시계 방향으로 피보나치 수 13 만큼,

시계 반대 방향으로 13 바로 이전의 피보나치 수 8 만큼
그려지는것을 확인할수 있고

 

 

 

 

 

마찬가지로 해바라기에서도 나선형의 선이 시계 반대 방향으로 피보나치 수 34만큼, 시계 방향으로 34 이전의 피보나치 수 21만큼 그려진다.

 

 

 

 

 

피보나치 수와 같이 물리 세계와 수학과의 미스테리한 연결은 더 깊어지는데

우리가 잘 알고있는 3.141592….. 즉, 파이
에서도 나타난다.

 

 

 

 

 

종이에 일정한 간격의 선이 그려져 있고, 선과 선 사이의 간격과 길이가
같은 바늘이 있다.

이 바늘을 종이 위로 던졌을때 나올수 있는 경우의 수는 바늘이 선 위로 떨어져서 선을 2등분
하는 경우, 
그리고 선과 선 사이에 떨어지는 경우 두가지가 있는데

 

 

 

 

 

바늘을 무한히 많이 던졌을때 바늘이 선 위로 떨어질 확률은 63.6…%, 즉 2/파이 이다.

 

 

 

 

 

수원(물의 공급원) 에서
하구까지 자연적으로 꼬불꼬불 나 있는 강의 길이를 직선의 길이로 나누었을때도 파이가 나타난다.

 

 

 

 

 

또한 파이는 소리와 빛과 같은 파동과 관련된 모든것들에 관련이 되어 있는데

 

 

 

 

 

파이는 무지개가 어떤 색으로 떠있어야 하는지.. 피아노의 middle c 소리가 어떻게 나야 하는지 말해줄수 있다.

 

 

 

 

 

초신성의 밝기를 측정할때도 파이가 나타나는데

이처럼 숫자 파이는 우리 세계에 깊이 숨겨진 막대한 수학적 연결망중 하나의 예 라고 할수있다.

 

 

 

 

 

MIT 출신 물리학자 MAX
TEGMARK는 현실세계의 이러한 수학과 물리세계와의 깊은 연관성이 마치 컴퓨터 게임과 비슷하다고 말한다.

 

 

 

 

 

우리가 컴퓨터 게임 속 주인공이 되었다고 가정해 보자.

 

 

 

 

 

우리가 탐험하는 게임 속 세상은 물리적 물질로 만들어진 단단한 물체 로 이루어진것처럼 느낄것이고 
물체가 떨어지고
튕기고 부서지는 모든 물리적 현상이 당연하게 느껴질 것이다.

 

 

 

 

 

이러한 물리적 현상을 호기심을 가지고 연구하다 보면 

결국 게임속 우리가 사는 세상을 묘사하고 있는것은 프로그래머가 심어놓은 수학적 규칙 이라는것을 알게 될것이다.

결국 게임속 우리가 사는 세상은 단지 숫자와 방정식 으로 이루어져 있는것이다.

 

 

 

 

 

이렇게 MAX는 게임속 소프트웨어 세상이 우리가 실제 살고있는 세상과
크게 다르지 않다고 주장한다.

그에게는 수학이 현실 세계을 설명하는데 있어서 이렇게 잘 들어맞는 이유는 세상 그 자체가 “수학” 이기 때문인 것이다.

 

 

 

 

 

우주는 그 크기와 복잡성이 너무 막대해서 우주를 묘사하기 위해서는 엄청나게 큰 숫자가 필요하지만 
그것의 수학적
기본 구조는 놀랍도록 단순한데

 

 

 

그 수학적 구조는 바로 소립자의 질량을 나타내는 숫자와 같은

32개의 “상수” 이다.

 

 

 

 

 

이 상수들은
물리적 기본 법칙의 유용한 수학적 방정식과 함께 존재하고

이것은 우리가 살고있는 세상을 잘 설명해준다.

 

 

 

 

 

 

 

 

MAX는 우리가 아직 발견하지 못한 물리적 현상이 있어도 그것은 분명
수학적으로 설명이 가능할 것이라고 자신한다. 

이모든 세상이 수학적으로 이루어져 있기 때문 이라는 것이다.

 

 

 

 

 

고대 그리스의 철학자이자 수학자인 피타고라스도 비슷한 생각을 하였고

 

 

 

 

 

수학과 음악의
연관성을 연구하다가 

Octave, Fifth, Fourth 와 같이 우리 귀에 듣기 좋은 음의 비율의 진동하는 줄의 길이가 
각각 2:1, 3:2, 4:3 일때 나타난다는 것을 발견하게 된다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

사실 많은 물리적 현상들이 이러한 간단한 비율로 이루어져 있는데

물을 구성하고 있는 산소와 수소 원자의 비율이 1:2 이다.

 

 

 

 

 

달의 공전주기 = 27.321661 일, 달의 자전주기 = 27.321661

달의 공전주기와 자전주기는 정확히 1:1 비율을 이룬다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

수성의 공전주기 = 87.969, 수성의 자전주기 = 58.6462

수성의 자전주기와 공전주기와의 비율은 정확이 2:3 이다.

수학의 신비함은 여기서 끝이 아니다.

 

 

 

 

 

위 그림은 리만이 발견한 “제타함수”
라는 수식이고 이 수식은 모두 소수로 되어있는데

리만가설이란 “제타함수의 비자명적인 제로점은 모두 일직선상에 있다.” 라는 것이다.

 

 

 

 

 

여기서 제로점이란 제타함수를 그래프로 나타내었을때 그래프의 높이가 제로가 되는 점이다.

 

 

 

 

 

소수의 배열이 불규칙적이기 때문에 
소수로 만든 제타함수의 제로점도 위 사진과 같이 불규칙할것이라고 생각되었는데

 

 

 

 

 

실제로 제로점은 일직선 상에 나타났다.

 

 

 

 

 

아직 발견되지 않은 다른 제로점도 전부 같은 직선상에 있는가? 이것이
리만 가설의 핵심이다.

 

 

 

 

 

이것이 바로 리만 가설의 제로점 간격의 수식인데

 

 

 

 

 

이 수식은 우라늄 등 원자학의 에너지(좌측) 레벨의 간격을 나타내는 식과 신기할정도로 일치한다.
소수의 불규칙적인 배열에 대해 연구를 했는데 그 수학적 연구에서 갑자기 원자학,
물리학의 식이 도출된것이다.

 

 

 

 

 

이렇게 많은 물리적 현상이 수학과 연관성이 있기 때문에

수학자들은 자신들의 일이 이미 존재하는 현상을 찾아내고자 하는것과 같아서

수학적 연관성을 발명 이 아닌 발견 하는것과 같다고 말한다.

 

 

 

 

 

정말 이 거대한
대 자연이 모두 수학을 바탕으로 이루어져 있는 것일까?

그게 아니라면 수학은 우리가 발명해낸 결과물인 것인가?

 

 

수학의 기원에 대해 의구심을 갖기 이전에
수학은 이 세상을 이해하는데 있어서 가장 강력한 도구임에는 틀림이 없다.

 

 

 

 

 

많은 학문이 수학을 바탕으로 정립되었고, 덕분에
오늘날 인류는 고도로 발달된 문명을 누리면서 살고있으며

 

 

 

 

 

인간이 만들어낸 탐사선은 2015년 6월 4일을 기준으로
태양으로부터 약 196억km 떨어져있는 태양권 덮개(헬리오시스)를 벗어난
성간 공간을 여행하고있다.

 

 

 

 

 

갈릴레오 갈릴레이는
“우주라는 책은 수학의 언어로 쓰여있다” 라는 말을 남겼고

 

 

 

 

 

알버트 아인슈타인은
인간 생각의 결과물인 수학이 어떻게 우주를 이렇게 잘 설명할수있는지 궁금해 했다.

 

 

 

 

 

미국의 이론 물리학자 유진 위그너(Eugene Wigner)는 이러한 현상을

 

 

 

 

 

“The Unreasonable Effectiveness of Mathematics” 라고 발표한다.

 

 

 

 

 

200년전
과학자들은 천왕성이 공전 궤도를 이탈하고있음을 발견하는데
수학을 바탕으로 치밀한 계산을 한 결과 천왕성이 아직 발견되지 않은 천체에 의해 끌어당겨 진다는 예측을 했고...

 

 

 

 

 

해왕성이 발견되었다.

 

 

 

 

 

영국의 이론 물리학자 피터 힉스(Peter Higgs)는 현재 가장 진보된 수학, 물리 이론을 이용하여
진취적이고 대담한 가설을 내놓는다.

 

 

 

 

 

그는 질량이 없는 입자는 빛의 속도로 이동하기 때문에 결코 하나의 원자로 합쳐질수 없다고 생각했고

 

 

 

 

 

16개의 기본입자들에 질량을 불어넣는

 

 

 

 

 

 

신의 입자라고 불리는 힉스 입자가 존재할것이라고 예측한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이후 그의 가설은 전세계의 내로라하는 과학자들의 검토를 받았고
그 수학적, 물리학적 타당성이 입증되어
스위스 제네바에 위치한 유럽입자물리연구소(CERN) 에는

 

 

 

 

 

무려 10조원이라는 천문학적인 돈이 투자되었으며
직경 27km에 달하는 세계 최대의 입자 가속기가 들어서게 된다.
이것은 과학자들이 얼마나 수학적 예측을 신뢰하고 있는지 보여주는 대목이라 할수있다.

 

 

 

 

 

힉스 입자는 2012년 7월 유럽입자물리연구소(CERN)가 오랜 실험 끝에 그 존재를 발견한 데 이어
2013년 일본 도쿄대학교와 고에너지가속기연구기구 등이 참여한 국제연구팀에 의하여 발견이 학술적으로 확정되었다.
그 결과 피터 힉스는 2013년 노벨 물리학상의 주인공이 된다.

 

 

 

 

 

인간이 관측하지 못한 물리적 존재에 대한 수학적 예측.. 그리고 그것의 발견..
이것이 바로 “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics” 의 예인것이다.

 

 

 

 

 

하지만 여전히 궁금하다.
모든 자연현상이 수학으로 인해 예측이 가능한것인가?

 

 

 

 

 

그렇지 않다고 주장하는 과학자도 있다.

 

 

 

 

 

그들은
수학이 분명 인간이 발명해낸 개념이고
물리법칙을 설명하기 위해 수학이라는 도구의 발명품을 사용하기로 선택하였을 뿐이라고 말한다.
이 때문에 인간이 연구하고자 하는 모든 분야에 수학적으로 접근하였고 이는 마치 대 자연의 바탕이 수학의 방정식으로 이루어져 있는것과 같은 착각을 불러 일으켰다고 주장한다.

 

 

 

 

 

단편적으로 보이는 대 자연과 수학과의 연관성에 심취해
인간은 그 뒤에 숨어있는 수학적으로 접근이 불가능한 막대한 영역을 간과 하고 있다는것이다.

 

 

 

 

 

기상학자들이 매주 기상를 예측할수 있게 해주는 이론이 있지만
완벽한 기상예측은 불가능하다.

 

 

 

 

 

장기적인 기상 예측이
작은 공기가 자라나서 큰 공기가 된다는 식의 예측이라면
특정한 날의 일기예보에는 정확히 예측하기에 너무나 복잡하고 무질서적인 변수가 많기 때문이다.
일기예보 뿐만 아니라

 

 

 

 

 

끊고 있는 물의 성질이나 주식시장

 

 

 

 

뇌 속의 뉴런의 상호작용과 인간 사회,

 

 

 

 

그 외의 생물학적 많은 분야도
현대 수학 시스템으로는 예측하기 불가능하다.

 

 

 

 

특정 과학자들은 수학적 예측이 불가능한 이러한 예를 들어
유진 위그너의 주장을 비꼬아
“The Reasonable Ineffectiveness of Mathematics” 라고 부르기도 한다.

 

 

 

 

 

그럼 어느쪽이 정답 이라는 것인가?
수학은 대 자연의 본래 성질이고 인간이 발견해 나가는 학문인가?
아니면 인간이 발명하고 발전시켜온 학문인가?

 

 

 

 

 

아마

둘다 정답일 수도 있다.

 

 

 

 

 

이론 물리학자인 MARIO LIVIO는 주장한다.
그에 따르면 오래전부터 인간은 이 세상의 많은것들을 눈으로 보고 가슴으로 느끼고 손으로 만저보았고 
어느순간 이것들을 0,1,2,3….8,9 라는 숫자로 추상화 했다고 한다.

 

 

 

 

0~9 의 숫자는 인간이 “발명” 했다 라는 것이다.

 

 

 

 

하지만 인간은 그들이 발명한 숫자들 사이에서 흥미로운 연관성들을 찾아내었고
그 연관성들은 “발견” 이라는 것이다.

 

 

 

 

 

다시말하자면
인간이 수학이라는 개념을 발명했지만 그 개념 사이의 연관성을 발견 했다는것이다.

 

 

 

 

 

우리는 아직 정답을 알지못한다.
수학이 자연에 존재하는 개념이며 인간이 발견해 나가는 것인지
인간이 발명한 개념이며 발전시켜 나가는것인지
아니면 둘 다인지…

 

아직까지 이 질문에 대한 대답은

 

 

 

 

 

 

 

 

 

위대한 수학의 미스테리로 남아있다.