흔한 열도의 수학문제(문제풀이)

 

원래는 유머 게시판에 올릴 성격의 글이 아니지만, 이 글에 원인이 되었던 글이 유머 게시판에 있었고, 또 많은 사람들이 유머게시판에서 "흔한 열도의 수학문제"라는 게시물을 접했으므로 여기에 게시글을 올리는 것이고, 앞의 이유를 바탕으로 좀더 많은 사람이 볼수있고 공감할 수 있는 곳이 유머 게시판 이라고 생각해 유머게시판에 글을 올립니다. 또 원글에 코멘트로 올리기에는 공간이 부족해서 양해를 부탁드립니다.

 

 

 

 

 

 

 

본론

 

이 문제자체가 잘못되었다고 봅니다. 문제자체도 잘못되었으므로 난제가 아니라고 생각합니다.
잘못된 부분은 이 문제가 수학문제에있어서를 생각했을때 명확한 조건을 제시하지 않았던 부분입니다.
수학문제는 무엇보다 중요한게 문제에 빈틈을 만들지 않는 조건에 정의에 있습니다.

이제부터 대다수가 생각하는 공통적인 룰을 전제하에 두고 읽어주셨으면 합니다. 많은사람들이 그렇게 생각하고 있으므로 먼저 그것에 대해 설명하고, 이 공통적인 룰이라는 것을 지적합니다.일단은 저는 이 공통적인 룰도 잘못됬다고 봅니다. 그러므로 저는 문제의 공식된 룰이라고 하지않고 단지 사람들이 생각하는 "공통적인 룰"이 라고 말하는 겁니다.

여기서 말하는 사람들이 생각하는 공통적인 룰이란?
(문제에서 그러한 조건이 어디에도 없었음에 불구하고 사람들은 쥐1마리를 잡는데 있어서 1마리의 고양이가 3분이걸린다는것,)
일단 이 공통적인 룰을 뜯어보면(이 공통적인 룰을 만족시키려면 밑의 4가지의 경우가 있어야한다.)

1.각각 고양이 3마리는 동시에 움직이고있고, 1마리를 잡았으면 또 각각의 고양이는 똑같이 다음 쥐를잡는다.
2.1마리의 고양이가 쥐를잡는데 3분의 초과,미만이 되어서는 안된다.(무조건 3분이 걸린다.)
3.각각의 고양이는 쥐를 잡은 횟수가 똑같아야 한다.
4.개 개인들의 시간의 합이 아닌 공간상의 시간이 절대적이며 소요된시간은 고양이가 있는 공간상의 시간을 기준으로   한다.

번외5.문제에는 100분 안에 라고 했지만 대다수의 사람들이 생각하고있는 시간은 100분이 걸려야하고 100분이 걸리게      하는 고양이의 마리수는 얼마인가?

공통적인 룰을 뜯어본것이 당연한것 처럼 보이지만 많은 사람들이 이의 경우를 무시하고 있습니다.
공통적인 룰을 당연하게 여기고 있다고 말하고들 있음에도 말입니다.

 

그럼 공통적인 룰을 바탕으로 많은 사람들이 생각하는 답 : 고양이 4마리
라는 것이 틀렷다는것을 설명하겠습니다.

일단 4마리라고 가정하고 쉽게 그림을 그려서 설명하면...

[ ('ω') = 1마리의 고양이 ]

→100분의 흐름 (어떤 고양이에게도 절대적인 시간, 즉 모든 각각의 고양이의 시간의 빠르기는 똑같다)

 

            ┌('ω')= 쥐 100마리 * 각각의 고양이당 전체 쥐에서 ¼마리(4마리중 1마리)= 쥐 25마리
            │즉.쥐25마리이므로 1마리당 25마리의 쥐를 잡는데 총 소요되는 시간 25마리 * 3분=(75분)
            │
            ├('ω')= 쥐 100마리 * 각각의 고양이당 전체 쥐에서 ¼마리(4마리중 1마리)= 쥐 25마리
            │즉.쥐25마리이므로 1마리당 25마리의 쥐를 잡는데 총 소요되는 시간 25마리 * 3분=(75분)
고양이 4마리│
            ├('ω')= 쥐 100마리 * 각각의 고양이당 전체 쥐에서 ¼마리(4마리중 1마리)= 쥐 25마리
            │즉.쥐25마리이므로 1마리당 25마리의 쥐를 잡는데 총 소요되는 시간 25마리 * 3분=(75분)
            │
            └('ω')= 쥐 100마리 * 각각의 고양이당 전체 쥐에서 ¼마리(4마리중 1마리)= 쥐 25마리
              즉.쥐25마리이므로 1마리당 25마리의 쥐를 잡는데 총 소요되는 시간 25마리 * 3분=(75분)

위의 그림을 보면 고양이 표시가 4개 있으므로 고양이가 4마리, 모든 고양이는 똑같은 수의 고양이를 잡아야한다
라고 했을때 고양이 1마리당 쥐25마리가 분배되고, 고양이 1마리당 25마리를 잡는다고 했을때 걸리는 시간은 25*3=75
 "75분"이며 모든고양이는 독같은 시간의 흐름속에서 동시에 움직인다고 했으니까 4마리의 고양이가 모든 고양이를 잡기까지 공간상의 시간은 총 75분이 걸립니다.

그러므로 고양이 4마리는 아닙니다.
공통적인 룰을 따르고 있음에도 잘못생각하는것은 고양이 3마리가 99분안에 한마리당 33마리를 잡아 총99마리를 잡고 마지막 쥐1한마리를 종전의 고양이 3마리에 포함되지 않는 고양이가 남은 1마리를 잡는다. 라고 생각할수 밖에 없습니다. 이것은 공통적인룰 1.2.3번을 모두 무시하고 있습니다. 만약 이것을 무시하면 "고양이1마리당 쥐1마리를 잡는데 3분"이라는 룰이 깨어지게 됩니다.

대다수의 사람들이 생각하는 공통적인 룰을 따르고, 현실에서는 소수점의 "마리" 라는 것이 존재할수없다 라는것을 고려했을때 가장 합리적인 답은 고양이3마리 입니다. 100분이내 라는것은 100분 이하라는 말과 같으므로 100분을 정확히 채우려면 가장 합리적인 답은 고양이3마리입니다. 어차피 수학이라 소수점을 인정할수 없는 부분에서도 소수점을 인정하는 것을 수학이라는것을 고려해도, 사람들이 생각하는 공통적인 룰을 따른다해도, 꼭 현실적인것을 고려한다는 주관적인 이유가 아니더라도 정수가 아닌 답은 성립할수 없습니다. 이미 그것을 증명했다는것을 아실겁니다.

쉽게 그림을 그려서 설명하면

            ┌('ω')= 쥐 33마리(99분)  ㅣ
            │
고양이 3마리├('ω')= 쥐 33마리(99분)  ㅣ+ 남은 한마리는 동시에 고양이가 행동한다는 가정하에 (1분) = (100분)
            │
            └('ω')= 쥐 33마리(99분)  ㅣ

3마리라고 생각합니다. 현실에서 두고보면 1마리를 소수 점으로 나누어서 생각 할수는 없으며,
만약 4마리라고 하고 원래 3마리 가있던게 마지막에 고양이 하나를 추가한다고했다는 경우를 부정하고
싶으면 마지막 한마리는 100분에 1마리를 잡는 고양이라고 정의 해야 하기때문입니다. 원래의 규칙은
고양이 한마리가 쥐1마리를 잡는데 3분이 걸린다라는 규칙이 있으니까 이것을 없다고 생각할수는 없으니
까 말이죠. 그러니 3마리가 답인이유는 모두 동시에 행동할수 있다는 전제하에 3마리가 99분동안 99마리를
모두 잡고 남은 한마리를 마지막 남은 쥐1마리의 경우도 3마리가 동시에 행동 한다는 전제하에 3마리의
고양이가 한꺼번에 남은 1 마리의 쥐를 마지막에 잡는 다고 하면 각각의 3마리의 쥐가 ⅓의 시간 씩을 쓰면
공간의 시간은 1분밖에 지나지 않았지만 3마리의 고양이가 1분씩을 1마리의 쥐를 잡는데 같이 썻으므로
공간의 시간의 흐름이 아닌 각각의 고양이들의 소비한 시간의 합만을 따지면 3분 그러므로 3마리 라고 생각합니다.
고양이 4마리가 된다면 어느 한쪽은 1마리를 잡는데 시간이 다르게되며 똑같이 시간을 억지로 나눈다고 해도
원래의 3분이라는 규칙을 벗어나게 되므로 고양이 3마리가 답이라고 생각합니다. 고양이가 셋이면 시간이 준다는것은
주관적인 답이지만 이것이 제일 현실적이기 때문입니다.
또 제일 현실적이기도하고 이것이 아니면 답은 없습니다.

대다수의 사람들이 생각하는 공통적인 룰을 전제하에 가장 합리적인 답을 구해보았습니다.

이제 공통적인 룰에 대해 지적 하겠습니다.

먼저 문제의 조건

문제 : 3마리의 고양이가 쥐를 잡는데 3분이 걸립니다.(조건)
       그렇다면 100마리 쥐를 100분안데 잡으려면 고양이는 몇마리가 필요할까요? (조건에 따른 문제)

문제의 조건은 이렇습니다. 대다수의 사람들이 생각하는 공통적인 룰에 대해 지적하면.

1.각각 고양이 3마리는 동시에 움직이고있고, 1마리를 잡았으면 또 각각의 고양이는 똑같이 다음 쥐를잡는다.

  = 한번 문제를 잘 읽어보세요. 동시에 움직여야만 한다는 조건은 어디에도 나와있지않으며, 문장안에 그런의미가 내재되어 있지도 않습니다. 이 규칙이 없다고 생각하면 고양이 1마리가 쥐1마리를 잡는데 1분이 걸린다고새서 틀리는 것은 아닙니다. 대다수의 사람들이 생각하는 임의의 규칙을 마음대로 사람들이 정하듯이.(단순히 다른 사람이 그렇게 생각하므로 나도 할 수 있다 라는것이 아닙니다. 대다수 사람들의 임의의 룰이아닌 문제의 공식적인 문장을 바탕으로 해서입니다.)  고양이 1마리가 1번밖에 행동하지 못하며 1마리를 잡는데 1분이 걸리고,동시에 행동하지 못하고 행동할때는 1마리씩만 행동할수 있다고 하면....
"3마리의 고양이가 쥐3마리를 잡는데 3분 = 첫번째차례 고양이(1분) + 두번째차례 고양이(1분) + 세번째차례고양이
(1분)" 이라고 생각할수도 있는것이며 이의경우도 공통의 규칙과 같이 문제의 공식적인 문장에서 크게 벗어나지 않으므로 1마리당 1분이 걸린다 라는것을 꼭 저건 틀리다 라고 볼수도 없는것입니다. 그러므로 고양이가 100마리가 필요하다는게 꼭 틀린것은 아닙니다.

2.1마리의 고양이가 쥐를잡는데 3분의 초과,미만이 되어서는 안된다.(무조건 3분이 걸린다.)
  = 2번이 잘못된 이유는 1번을 참고하시면 됩니다.

3.각각의 고양이는 쥐를 잡은 횟수가 똑같아야 한다.
  = 3번은 수학문제라는것 자체가 규칙성을 포함하지는 않고 문제를 성립시키기 어려우므로 인정합니다.

4.개 개인들의 시간의 합이 아닌 공간상의 시간이 절대적이며 소요된시간은 고양이가 있는 공간상의 시간을 기준으로   한다.
  = 4번도 문제에서 개 개인의 시간을 합하라는 말이 없었으니 이것도 틀린게 아닙니다. 인정합니다.
    이것을 인정해도 고양이 1마리당 시간이 1분이라는 경우가 틀렸다고 생각하실수도 있는데 잘생각해보시길 바랍니다.

번외5.문제에는 100분 안에 라고 했지만 대다수의 사람들이 생각하고있는 시간은 100분이 걸려야하고 100분이 걸리게 하는 고양이의 마리수는 얼마인가?

   =꼭 100분이 걸려야한다라는 것을 어디에도 찾아볼 수 없습니다. 100분만 초과가 되지않으면 고양이는 몇마리이든 상관없습니다.

     100분안에= 100분이하

 

다음은 제가 생각하는 답입니다.

순수하게 문제의 조건을 따지면 답은 1마리 미만만 아니면되고, 또 그러한 경우가 없다는것을 생각했을때

답: 무조건 어떠한 경우라도 적어도 1마리 이상은 되어야 하며 1이상의 숫자는  문제를 어떻게 해석하느냐에 따라 달라진다. 또 어떠한 경우라도 답이 1이하가 되는 경우는 없다. (여러가지의 경우라는것은? 문제의 공식적인 조건을 바탕으로 해석)

 

제가말하는 답은 여러가지의 경우를 포함하고있고, 여러가지의 경우는 임의로 설정한것은 아닙니다.
문제가 조건을 제대로 정의하지 않아 여러가지의 경우를 만들고 있기때문입니다.

즉 문제의 조건을 바탕으로 여러가지의 경우가 나올수있다는것입니다. 그렇다고 아무 여러가지의 경우를 만들면 안되겠지요.

문제의 공식적인 조건을 전제로 하는것이 룰이지요.

 

그러므로 출제자의 의무는 문제가 여러가지로 해석되지 않도록 공식적인 조건을 정의하는 것이 중요하지요. 

 

 

P.S
다른 분이 말했듯이 보통 수학문제(주관식)을 풀다보면 명확히 조건이 제시되지 않은 문제들을 종종 보아왔습니다.
이러한 경우 저는 대다수의 문제를 보아왔을때 단순히 문제를 많이 맞추기 위해서 라면 사람들이
생각하는 공통의 규칙에 따르는것을 추천합니다. 명확히 조건이 제시되어 있지 않은 경우가 의외로
많습니다. 또 문제를 풀다보면 문제의 출제 의도를 보면 고의적으로 조건을 일일히 정의하면
문제의 답이 풀려버리게 되는 문제도 있어 조건을 명확히 정의하지 않은 문제도 종종보기도합니다.

이러한 문제들은 수학을 학습하면서 우리를 혼란에 빠뜨리는 경우가 많습니다.

 

사람들이 생각하는 공통의 규칙이라는것은 수학문제를 어느정도 풀면 그게 뭔지 눈에 보입니다.
하지만 문제를 단순히 많이 맞추기 위해서 라면 이러한 공통으로 생각하는 룰에 따라야 하는것은
어쩔수는 없으나, 분명 명확히 조건을 내걸지 않는, 어찌보면 빈틈이 있다고 생각할수있는 질낮은
문제들은 하루 빨리 사라져야 합니다.

 

푸는 사람은 이것 때문에 잘못된지도 모르고 해메게 되는경우가 한둘이 아닙니다.
1시간 안에 해결할수 있던것을 2시간동안 붙잡고있고, 답은 해결했어도
어딘가 문제가 빈틈이있어 문제가 잘못된지도 모르고 배우는 사람들에게 시원치않은 경우도 한 둘이
아니고, 답이 여러게 나올수 밖에 없는 경우도 생깁니다. 주변에서 이러한 경우가 쌓이고 쌓여 학습을
포기하게 되는 경우를 한두번 본게 아닙니다. 학습자는 문제가 잘못된질모르고 자기를 질책하고 수학을
포기하는 경우도 한 두번 본게 아닙니다.

 

물론 저는 이러한 성격을 가진문제들이 아예쓸모 없다고 보여지지는 않습니다.
학습자가 여러가지의 경우를 두고 생각할 수 있게 만드는 문제이며, 학습자가 문제가 어디어디가 잘못됬다!
라고 지적할 수 있는 능력을 기르게 할수도 있으니까 말이지요. 단 이러한 문제를 내기전 어떠한 성격을
가지고 있는 문제인지 미리 설명을 해두고 이 문제에 관해 자유로운 의견을 펼쳐봐라 라고 설명을 한다는
전제 하에서 말입니다. 꼭 일직선의 교육보다 저런 생각도 가능할수 있구나 라는 것을 인지시켜 여러가지
방향을 학습자가 생각하게 할수 있다는 점에서는 쓸모있는 문제네요. 뭐 어딘가에는 쓸모가 있다라는 것이고

하지만 만약 이 문제가 학습자가 답을 하나만 고를수있는 시험을 보고있는 상태라면 분명 사라져야할 성격의
문제라고 저는 생각합니다.

한번 제가 말한경우말고도 또 어떠한 경우가 나올수 있는지 자유롭게 댓글을 달아보세요.

 

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오타를 수정했지만

아마 오타가 많을것입니다. 하지만 오타의 수준이 제 견해를 전달하는데에는 충분할것을 고려하여 올립니다.

너무 오타가 많은 수준이 아니면 제 의견을 전달하는데는 충분하지 않습니까?